2018年5月
曾紫玉译
数学中的几何课程一般很容易找到可以操作的部分，像是柏拉图五种立体可以用多张折纸互嵌来制作，或是用陶土塑形。其中一个很有意思的操作法是利用三张黄金矩形纸片互嵌，再让学生想像每个顶点有线相连接时会变成什么形状（这也是心灵肌肉运动之一，图十一—二十面体）。我在网上看到国外的华德福学校，利用木棒两端固定吸铁，可以很方便地让学生操作出这五种柏拉图立体（注8）。
在非几何的数学课中，我也希望可以让学生有操作的部分，与圆相关的主题，我曾准备如明信片般大小的纸发给学生，问他们如何让我可以从这么小张纸中穿过？答案是有技巧地将纸剪成相连的一条线，展开如一个圆般，在他们学会如何简易地剪开后，可以再挑战学生用A4大小的纸张剪成一个大圆，让全班都可以穿过去（注9）！主题是三角形时，也可以教学生制作六角翻 (Hexaflexagon)，自己画上各面的图形，既好玩，又兼具艺术性（注10）。纯思考会让学生沉睡（吸入），手做则令学生醒过来（呼出），在华德福教学中很重视课程的节奏，老师得很有意识地让睡和醒、呼和吸相互交织。
圆锥曲线除了作图外，也有其他的操作方式。在学生都已经明了各曲线在圆锥中的分布位置后，一天早上我安排同学们站在一间实验室走道的两侧，在全黑的室内，我用手电筒将光垂直打在走道上，并说：「欢迎来到圆锥王国！」慢慢地我转换手电筒的角度，让光圈从正圆形变成椭圆形，再继续延伸光圈直到打到对边墙上，我让光圈来回移动的期间不断地问学生：「你看到的是什么曲线？」我自己备这门课时有几个晚上都在玩手电筒，我不断地问自己，这到底是椭圆的一端来到墙上，还是它是抛物线？我如何能区辨？最后我们回到教室讲解：打出的光线一如圆锥，想像有个两头手电筒，那么同时打出前后的光，就成了名符其实的圆锥王国，那么地面就是之前切剖圆锥形陶土的剖面位置，至此，学生就能清楚分辨出：当灯光的边缘与地面平行时，就是最关键的抛物线，光源往下就是椭圆，往上就是双曲线（图十二）。
另外，我会发下描图纸，教学生如何轻易地折出三种圆锥曲线（注11）。折纸的部分操作起来相当容易，只要焦点与准线（或准圆）上的点一直重叠所折出折线就会形成圆锥曲线。这些操作简单易行是以排在后头，先苦后甘是必要的学习过程，否则已经会了简单的作法再教难的作图，那么老师就是拿砖头砸自己的脚了。
天大的秘密
圆锥国王很高兴王子这么优秀，竟然还可以用手电筒和折纸解开宝藏埋藏之所在，于是积极地筹备王子与公主的婚礼，也吐出圆锥王国的天大秘密－曲线的形变。
这就进到圆锥曲线的压轴好戏。第一个形变的秘密比较简单：此时学生已明了当焦点在准圆内外不同距离时曲线的形变，但是问题是—如果焦点就正好在准圆上时，曲线会变成啥样呢？学生可从作图中自己找出答案（图十三之3－为一射线）。
秘密之二（图十四）最难理解：当一个圆的最右侧这一点不动，而圆心往左边移动时，圆会变大，圆和焦点（位于圆右侧）等距的轨迹就形成双曲线；当圆心一直往左移动，圆变得越来越大，是以双曲线的开口就越来越小，圆心最后到了左边无穷远那点时，黑板上的圆大到只看得到它的一小部分，而且看起来就像一条直线，这条直线和右侧的焦点等距的轨迹就变成抛物线；当圆心过了无穷远这一点时，圆心到哪里去了？学生在七年级的物理课（凸透镜成像作图）中已经先有体验（实像变大到后来不见了，而转成虚像从另一侧出现），是以有学生可以猜到答案－圆心过了左侧无穷远后是从右侧的无穷远处回来。而在圆的最右侧这一点仍不动的情况下，圆心在右，是以焦点变成在圆内，焦点与圆等距的轨迹变成超扁长的椭圆曲线；当圆心继续往左移动，椭圆变得越来越圆胖；等圆心与焦点重合时，椭圆就变成正圆了。
这真是令人不可思议的形变，所有的圆锥曲线互相变来变去，就好像都是同一条！这点与我们在天文上的发现有异曲同工之妙：地球绕行太阳的轨迹为椭圆形，太阳位于椭圆的一个焦点上，当太阳系行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行，而人类发射人造地球卫星时就要遵照这个原理。
数学的规律美、惊叹、巧合等例子俯拾皆是，应该要适时地带给孩子。我很喜欢一个有关圆周长、很酷的例子，在圆的主题结束前问了同学：假设有一条很长的绳子（假设四万公里），恰恰好沿赤道绕地球一周，然后我们把绳子加长一公尺，请问一只老鼠可以钻得过这个松动的地球腰带吗？如果你动一动笔算看看的话，会发现连一只猫都可以钻得过去哟！这种经过计算可以确实得到超乎原本想像的答案，就是成人也会惊异，学生在当中就更能感受到掌握数学的绝妙。
晨圈
主课程的一开始是晨圈活动，我们玩抛沙包，每天距离越拉越远、篮子也越换越小，总要一直挑战学生，最后一天悬挂一个铃铛在半空，附近放个大口锅子，要沙包打到铃铛掉入锅中才算数。这个抛物（线）练习，虽然只是用身体来体验控制抛物线，但是深受学生欢迎，而一些数学能力不好的同学这时很可能反而会被注目（投进率超高），适时地让不同的学生有机会秀出其亮眼之处，也是我的目的之一。
晨圈除了抛沙包之外，随着课程的进展，我让学生直接用身体来体验这些曲线，把人当成焦点，一排人变成准线（或准圆），给条绳作为测量工具，让学生自己安排其他的学生站在等距轨迹的位置，方法都对了，还可以玩形变，但不会一直重复相同的事。教椭圆时，我带了一次很特别的晨圈，由于当天会讲到「克卜勒第二运动定理」 （地球走在绕行太阳的椭圆形轨道时，靠近太阳时运行的速度较快，远离太阳时速度较慢），我带学生一起体验「承气」的动作（注12），学生可以感受到双手挥动时所画出的椭圆，在靠近身体的时候手动得快，离身体远的时候手就动得慢。等课程中要说明克卜勒的发现时，让学生回想晨圈做的动作，就似乎更容易连结。事实上每个人的身体就是个小宇宙。
您也许要问为何物理素材进到数学课中，史丹勒要我们在课程中灵活地教学，在不失去科目、不带领学生偏离主题的情况下，通过将科目交织在一起，而跟人产生关联。另外，哥德也说：「人就是宇宙自然的缩小版，所有的自然现象都可以在人身上发现。」特别是史丹勒要老师们在孩子过了九或十岁（跨越卢比孔河阶段）后，课程必须始终将人类与其他的自然界互做比较，并希望老师可以带给孩子一种「人与整个自然界相似」的感受。 （注7）
点心故事
犹记资深外师 Loather 给了我们一个数学主课程的图像，他提到三个最基本的元素：晨圈、进新内容前的回顾，和一个十五分钟的甜点故事做为结束。刚开始时，我一直觉得讲故事这一点窒碍难行，除了贪心想多上些正课，通常教第一轮的华德福老师光是准备课程内容就很累了，哪里有力气去另外张罗故事？我跟 Loather 讨价还价，问能不能讲十分钟的故事就好？外师坚定地回答我说要十五分钟，原因是太短的故事营造不出感受。然而这甜点故事并不要求搭配数学主课程的内容，反而是配合不同年级孩子的需求而定；它不需要像历史主课程一样得用「说」的，而是可以拿著书「读」给孩子们听。一位同事对她的班级年龄适合且喜欢读的书了若指掌，每天在数学主课的末尾时读一段，等讲到最精彩的部分戛然而止，又开始读另一本。被吊起胃口的学生则争相借书回去读，这样下来，充满思考与意志的数学主课也能兼顾滋养情感面，达到所谓「甜点」的效果，也启动了孩子的阅读兴趣，真是一举两得。
我自己能真的实践在数学主课程每天讲甜点故事已是几年之后的事了，也的确感受到外师所说的「对孩子的滋养」。记得在结束「圆」面积课程的那一天，我讲了一个圆的故事—失落的一角 (The missing part)。其中描写一个圆缺了一角，他出发去寻找那能圆满他缺憾的一角的种种经历，故事简单，但发人深省。网上可以看到已经有前辈们将故事制成投影片，可以很方便地放给学生看；但是我很享受一页页（印成A3大小的黑白画）讲给学生听的过程，孩子眼睛看的是单纯的黑白线条，听的是人的声音，可缓、可急、可营造张力，学生完全地融入故事当中。这次的圆锥曲线主课程，我一天讲一位现代人物特写。在华德福教育中很推荐国中生看人物传记，因为这个时期的他们需要找寻人生典范。从他们专注的聆听表情中，我可以看到有些种子被深埋在他们的心中，也许因缘际会的一天就发出芽来。对听数学只有乏味可言的少数学生而言，这堂课总还算有一些收获或娱乐。
当然，这个主课程的最后结局就是王子娶到美丽的公主。为了将课程设计成寻宝的故事，我边教边想办法将隔天的内容纳入故事的流中，可以这样天马行空地串联，自己还颇乐在其中，于是再次教圆锥曲线主课时，我让学生可以自编故事，工作本除了是学习的累积，也成了自我创作的园地。
结语：
即便如此，我还是要提醒老师们扬弃所谓的华德福的框架。前面所提到的甜点故事、晨圈等等，并非一个固定、僵化的必要内容，反而应回归到华德福教育中所强调的本质－
如何在一个课程中同时兼顾思考、情感和意志三者。同样是一门三周的圆锥曲线主课程，每位老师都可以有自己的规划与设计，这里只是略抛一砖而已。
我要借此机会感激一开始就遇到的德籍启蒙恩师 Loather Steinmann，他一路陪伴在台湾新设立的华德福学校，我也在他的指导下过了最初、最煎熬的三年华德福导师生涯。 Loather 除了给予我们许多教学实务上的指导、人智学的理念，也为我们打破许多「所谓华德福」的框架，同时给予我们不怕犯错的勇气与信心。我今天能摸到一点华德福的门槛，能有一点点的教学成效，都要归功于他。虽然 Loather 在前年六月与世长辞，但他坚定、温暖、风趣，又带着智慧的言行风范，仍然在我心深处提携着我往前迈进，谢谢您，Loather。
注1：”Making Math Meaningful: A Source Book for Teaching Middle School Math”, by Jamie York, Bob & Nancy’s Services, Inc.
注2：”Geometry and the Imagination-The Imaginative Treatment of Geometry in Waldorf Education”, A. Renwick Sheen, Waldorf Publications.
注3：「青少年教育」第一讲，鲁道夫‧史丹勒着，吕丹、孙爱萍译，华德福生活馆出版。
注4：我之所以会在冥想前安排得这么复杂，是因为一旦你直接要学生闭上眼睛，很多人就顺势趴下，睡大头觉去了。
注5：椭圆上任一点到两焦点的距离和为一定值，是以为加法的曲线；双曲线上任一点到两焦点的距离差唯一定值，是以为减法的曲献；抛物线原本的定义就是到焦点和到准线的距离相等，是以为相等的曲线。
注6：找一条拉链，拉开一部分，在拉开的两边各选择一点F1和F2，使它们到拉开P点的长度不相等。在P点处放上一支铅笔，逐渐拉开拉链，铅笔跟着移动，这样就画出一条曲线。摘自「几何的宝藏」，作者李毓佩，国家图书馆出版社。
注7:「实用教学指引—华德福学校1～8年级课程的图像」，鲁道夫.施泰纳着，林琦珊译，洪业文化出版。
注8：参考网站：Eighth Grade Platonic Solids Project，https://www.youtube.com/watch?v=rWrKMeS-Vio
注9:「如何穿过一张明信片—德国小学生爱上数学的秘密」，波伊特许帕赫博士、马库斯．华格纳合着，译者：姬健梅，究竟出版社。
注10：参考网站：How to Make Tri Hexaflexagon Tutorial Out of a Paper – DIY Tri Hexaflexagon，https://www.youtube.com/watch?v=9iDEqX5eAr8
注11：参考网站：Conics – Making a Hyperbola with Wax Paper，https://www.youtube.com/watch?v=nEISCCjObPg，另外两种曲线的折法，由此很容易连结到。
注12：「承气」动作：尾椎有如对着一正方形地垫的顶点，两大腿外侧贴平于正方形的两边（呈九十度角），两脚掌面相对贴好（如膝盖不好的人，则需垫高臀部），脊椎打直，两手悬于大腿之上，掌面摊平朝上。开始动作时，脊椎前倾十五度，两手朝前往内绕回画圆，两手不相碰，指尖维持朝前，可依自己的速度，接近身体但不碰到身体，如此画出的圆为椭圆形，而靠近身体时速度较快画出，远离身体时速度变慢收回。要停下来时，则将脊椎当排档杆煞车，回到脊椎打直的状态，手的动作就会慢慢停下来了（源自「无相气学」功法之一）。
图十一：黄金矩形与二十面体
图十二：手电筒制造圆锥曲线
图十三：秘密之一
图十四：秘密之二
后记—华德福几何课程样貌：
从人智学人的发展论中，十二岁以后逻辑思维才开始萌芽，是以此时才开始用适当的方法带进几何，使其与内在产生真实的连结。除此之外，还要教授带有想像力品质的几何。
华德福教育在国小阶段上形线画与优律思美，这时用身体带入了几何的形；五年级上徒手几何，六年级上尺规作图，带入工具（圆规）的应用，七年级验证毕氏定理并且学习透视 (Perspective)，让学生从二度的平面空间里生出三度空间，八年级上柏拉图立体几何时，更能在心中看到正多面体的结构与互相内嵌（对偶性），接着才进入圆锥曲线。
圆锥曲线基本上是同一曲线在不同阶段形变后的结果，亦是了解宇宙、地球、人的形的基础，这点到十一年级的投影几何(Projective Geometry) 主课程会有更深化的感受。圆锥曲线这门主课程透过绘图的经验，得以刺激孩子的想像力（这是数学发明的推动力），让孩子能清楚地定义这些曲线的轨迹，并看到不同条件下的形变，且能为日后更为抽象与智识的训练奠下一坚实的基础。