2018年2月
前言
为了帮助罗伯特王子娶到圆锥王国的公主瑞秋，必须找出圆锥王国里所埋藏的宝藏，而你们就是王子的智囊团，唯一可以利用的工具只有—笔、直尺、圆规，以及各位的脑袋。
学习动力
对于「圆锥曲线」完全外行的我，因为接到任务，所以就开始了一段研究如何教授「圆锥曲线」的旅程，自己玩得很高兴，也与您分享。按美国华德福资深数学老师Jamie York的建议(注1)，可以将这门主课程设计成寻宝游戏，于是打从一开始我就编了一个故事(如前言)，从这里入手，孩子们的动力就来了，也对接下来的课程有所期待。
在华德福教育中特别提到，当我们在课程中加入了张力、期待和放松，这些都会渗透思考过程，并且带来益处 (注2)。犹记以前上「圆面积」这个主题时，一开始我就向学生宣布：「我想请大家吃披萨(这时所有的孩子眼睛都亮了！)但是天下没有白吃的午餐。」这时我打开黑板，亮出已经画好的图(如图一)，问道：「这有四盒披萨，哪一盒的披萨可以吃最多？猜对的人就有披萨吃！」这个几乎只赢不输的题目在华德福的教学艺术上起了一个很好的效用(事实上对任何教育都一样)，因为引发学生的好奇心就是个好的学习的开始。在学生都猜完之后，我让学生画在工作本中留下纪录，并保留答案直到教完圆面积如何计算后，让他们自己揭晓答案。这真是一件很美的事，让孩子有动机想知道如何算出圆面积，等学生学会时再应用所学去找出答案，学生也会有满满的成就感。
图一：四盒披萨
宝藏线索
「圆锥曲线」第一天的题目很简单，重点是厘清「轨迹」和「距离」这两个概念，虽说容易，一旦清晰的概念建立好，则后面相扣着的所有问题都可迎刃而解。五个宝藏埋藏的线索分别是：距离一点等距的轨迹(当然题目要讲得好玩些，如：宝藏埋藏在距离A树100呎远的地里，那么宝藏可能埋藏的位置所在)、与一直线等距离的轨迹、与一个圆等距的轨迹，以及与两点等距的轨迹、与两相交直线等距的轨迹(引出中垂线和角平分线的定义与性质)。
第二天开始的宝藏就只能两天介绍一种圆锥曲线，首先是：埋在距离一树与一笔直的篱笆两者等距之处(树不在篱笆上)。学生在试画时，可以提醒他们前一日所学(距离一点等距的轨迹是圆、距离一直线等距的轨迹则是平行线)，让同学学习用尺和圆规找寻等距的交点位置有哪些，最后平滑地连接起来就是抛物线(图二)了。椭圆(图三)和双曲线(图四)也运用类似的提问法(宝藏埋在距离一圆形篱笆与其内/外一树等距之处)。一天做一种图，学生从复杂的作图中慢慢熟悉这些轨迹如何被画出。
图二：抛物线
图三：椭圆
图四：双曲线
再来国王又考王子：抛物线和双曲线这么相像，要如何区分呢？经过三天不眠不休地思考，智囊团终于与王子一起想通可以利用四个并接的图形(图五/注2)来说明异同：两者同样是开口愈来愈大的曲线，一个较有弧度，而离对角线越来越远的是抛物线；另一个看似越来越直，且离对角线越来越靠近、却永不相交的是双曲线，如此就引出了渐近线(四个双曲线的图的对角线)。这里我也利用这两种曲线的可能职业做比喻，一个有如喜爱曲线的艺术家，一个如笔直向前的军事家。
图五：抛物线和双曲线的异同
与人的对应
每学会画一种圆锥曲线后，都会引导学生观察准线/准圆或焦点移动时曲线的形变。我常常让学生将所学的课题与人做对应，透过将外在世界与人产生关联，我们就是在激发孩子们的情感，也同时帮助孩子们去记忆；就像史丹勒说，在我们提到温暖现象时，怎么能不谈及发烧；在提及弹力球时，怎么能不讲到呕吐现象(注3)。在圆锥曲线上有个譬喻可以让形变概念变得超清晰。在隔天回顾前日所学时，我会靠到一位害羞或畏惧我的学生身边，让学生看我们之间的动态关系—当我越靠近他时，他会越退缩，正如同：当准线/准圆和焦点间的距离越近，曲线的开口就变得越窄或越扁；原来人际关系在数学上也学得到，而且此概念对几种圆锥曲线都一样适用。
锻炼心灵肌肉
圆锥国王发现难不倒王子，沮丧之余又一阵狂笑，问道：「在圆锥王国中，哪些区域埋藏哪种宝藏!?」于是我们得先定义出圆锥(王国)。我很记得德籍华德福外师Loather Stainmann的提醒，在课程中要把握机会锻炼学生的心灵肌肉，这是发展想像力的源头。这是什么意思呢?当时他举了一个例子：如果有一叠整齐的白纸被推了一下，结果原本垂直的角度变成一个斜面(图六)，那么侧面看时，白纸所占的面积会改变吗?当老师用口头仔细陈述时，学生就在脑子里形塑动态的画面，这就是对他心灵肌肉的锻炼—冥想。特别是在几何中，如果可以先让学生在脑中形塑出几何，然后再用手画出来，那么这几何或空间的概念会是非常清晰的。这里我也运用了相同的策略。
图六：
我告诉同学们，要知道圆锥王国中哪些区域埋藏哪种宝藏，得先带他们去看看圆锥王国的样貌，遂要求大家都坐在椅子的前三分之一处，两手放在大腿上，脊椎打直，系上安全带(做动作外加配音)，然后闭上双眼就出发了(注4)。远远地我们看到前方有一条叫做A的直线笔直于前(提醒所谓的直线是没有端点、无限延伸的线)，有另一条叫B的直线与A直线相交于一点，且与A维持一定的角度(α角)，这时B绕A三百六十五度，B直线所扫过的区域就是圆锥王国。冥想完后张开双眼，解开安全带，问他们看清楚了没?为了让冥想能力比较不强的同学有机会在脑中形塑得更清楚，我再请两位高个头的学生到教室前方，一个当A，一个当B，A双手抱住斜躺且手臂往头上直伸的B，摆好一定角度后，我拉着B的一脚协助他绕A一圈，要同学注意B所扫过的空间，这是第二次锻炼；再来我才在黑板上画出圆锥的图形(图七)，强调出圆锥王国是中空的，而且是无限延伸地大；最后我端出原本已藏在教室某处的圆锥黏土，让学生第四次看到这形象(半个圆锥王国)，接着才进入切剖圆锥王国找出曲线在其中的分布位置(图七之一)。
图七：定义圆锥王国
孩子们都知道水平地横剖圆锥可以得到圆形的曲线，也能猜出稍微斜切的剖面是椭圆形的曲线，但是继续加大倾斜度，一直都是椭圆吗?这里要强调出，由于圆锥无限地延伸，唯一可以切不到两端，就是剖面倾斜度与B直线平行时，这时切出来的曲线是抛物线，这是重要的临界点，剖面一旦过了与B直线平行的角度，就会同时切到上方的圆锥，而切出双曲线。隔天会再进一步找退化的圆锥曲线。
图七之一：切剖圆锥王国
我继续编故事：王子开窍了，继续向圆锥国王说：「其实这些宝藏的藏身处并不只一种说法。」于是我们来到圆锥曲线的另一种定义方式—引导学生从简易图上看出：椭圆、双曲线和抛物线分别是加法、减法及相等的曲线(图八/注5)。介绍完椭圆有加法的特性(椭圆上任一点到两焦点距离和为一定值a+b=k)后，我将一条线段的两端悬贴在黑板上(像一个微笑)，然后用粉笔贴着线一笔画出椭圆。你可以想见之前为了一个椭圆得作图作很久的学生这时的脸，和我画完后站在一旁的得意笑容。我让学生用厚纸和棉线也在硬纸上做出一个微笑，再贴在工作本上当记录，且在旁边写上此微笑线段的长度其实就是准圆的半径之证明。另外还可以利用拉链(图九)来进行减法曲线(a-b=k)的操作(注6)，也相当有意思。
图八
图九
与生活的关联
除此之外，我会利用课堂上的小空档，一一介绍当今对这三种曲线的应用，像是如何利用抛物线的光学性质来设计车头灯、太阳能炉、无线电接收器等；如何利用椭圆形的光学性质可以有随便打、随便进的椭圆形撞球桌、椭圆形音乐厅的VIP座位在哪里，甚至是肾结石碎石器如何运作。双曲线就更厉害了，由于它是减法的曲线，被应用来做远航定位、甚至因为是承受压力最大的曲线、风阻小又省料，而被广泛地应用在各种现代建筑上，如德基水库、圣路易斯科学中心天文馆。应用这部份对学生很重要，学生知道这些曲线与他们生活的关联性，他们会觉得学习是有用的，是以对这些曲线就更有兴趣去了解，也更容易记得这些曲线的特性。史丹勒也提到，要维护孩子理想主义的健康发展，要让十三到十五岁的孩子看到实际生活与课程的关联。我们也以此让孩子对周遭发生的事情充满好奇及求知的渴望，从这当中继续发展他的知识(注7，p164)。
形变
除了加法、减法及相等的曲线外，王子还秀给国王看圆锥王国内没有的乘法曲线–卡西尼曲线(Cassini Curves)及其形变(图十)。这里得要解释一下，其实卡西尼曲线并非圆锥曲线的一员，Jamie York建议要教(在华德福八年级数学课纲中亦为建议可上的内容之一)，目的是为了让学生看到许许多多的形变，八年级的孩子要懂得形变过程，甚至提到他所工作的学校在四、五年级时，便会在优律思美课中让学生去跳出这个形变，并且预告在八年级时会在数学课中学到这些形；史丹勒亦提到：藉由观察图像产生时所发展的空间感受，将会让意志有所开展(注7)。卡西尼曲线真的很挑战学生，作图相当花时间，且形变又出乎意料之外。正好我当时去旁听一位来自纽西兰的华德福高中老师示范教授高二天文学，他提及了卡西尼曲线与天体运行的关联性，这让我更加毫不犹疑地将卡西尼曲线纳入此主课的教学内容中。
图十：卡西尼曲线